考研不等式证明(有一个不等式需要证明)

这是我想的一个简单一点的证法：

1.先证正数的算术平均大于等于几何平均：

对(x1+x2+…+xn)/n，如果x1,x2,…,xn都相等，那么它们的算术平均等于它们的几何平均。

如果x1,x2,…,xn不全相等，那么肯定有一个xi>(x1+x2+…+xn)/n，有一个xj<(x1+x2+…+xn)/n

现在进行操作：

(1)若xi-(x1+x2+…+xn)/n>(x1+x2+…+xn)/n-xj，那么把xi换成xi'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n，把xj换成

xj'=(x1+x2+…+xn)/n；

(2)若xi-(x1+x2+…+xn)/n<(x1+x2+…+xn)/n-xj，那么把xi换成xi'=(x1+x2+…+xn)/n，把xj换成

xj'=xi+xj-(x1+x2+…+xn)/n

(3)若xi-(x1+x2+…+xn)/n=(x1+x2+…+xn)/n-xj，那么把xi和xj同时换成xi'=xj'=(x1+x2+…+xn)/n

现在验证，每次操作后x1,x2,…,xn的算术平均不变，几何平均增大。

显然，算术平均是不变的，因为进行操作后xi'+xj'=xi+xj的和不变，其他的数也不变。对几何平均，我们验证进行操作后xi'xj'>xixj。事实上,令xi+xj=xi'+xj'=2t，xi-xj=2u，xi'-xj'=2v。显然，对情况(1)(2)(3)都有u>v，所以xi'xj'=(t+v)(t-v)=t^2-v^2>t^2-u^2=(t+u)(t-u)=xixj。

因此，每次操作后算术平均不变，几何平均增大。但是，有限次操作后x1,x2,…,xn都相等。此时，算术平均等于几何平均，而几何平均比原来的几何平均大，于是算术平均大于等于几何平均。

2.下证调和平均小于等于几何平均：

由1，(1/x1+1/x2+....1/xn)/n≥1/(x1x2…xn)^(1/n)

两边倒数，得：n/(1/x1+1/x2+....1/xn)≤(x1x2…xn)^(1/n)

证毕。

还有，楼上是错的，算术平均≥几何平均